As dívidas do falecido devem ser quitadas somente com os bens deixados, ou seja, com o espólio durante o inventário.

Diante disso:

? Se houver patrimônio, as dívidas são pagas até o limite do que foi deixado;
? Se não houver bens, os herdeiros não são obrigados a usar seus próprios recursos.

E quando a pessoa não deixou nenhum patrimônio?

É possível realizar um inventário negativo no Tabelionato de Notas, que comprova oficialmente a ausência de bens, protegendo os herdeiros de cobranças indevidas.

Não esqueça: a responsabilidade dos herdeiros é sempre limitada ao valor da herança. Sem herança, não há dívida a pagar.